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\title{从一道数学题开始的一篇论文}
\author{序号：01 \quad 学号：241330101 \quad 姓名：五六七}
%\date{}

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\begin{document}

\maketitle

\abstract{这是一篇从一道数学题出发，扩展发展出来的课程论文，题目来自微积分、线性代数、与概率论。}

\section{题目}

\begin{enumerate}[start=1,label=\arabic*.]

    % 微积分

    \item %1
    计算极限：$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$。
    \item %2
    求导数：设 $f(x) = e^{x^2} \ln(x)$，求 $f'(x)$。
    \item %3
    计算不定积分：$\displaystyle \int x \cos(x)  dx$。
    \item %4
    计算定积分：$\displaystyle \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2}  dx$。
    \item %5
    求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ 的极值点。
    \item %6
    计算广义积分：$\displaystyle \int_1^\infty \frac{1}{x^2}  dx$。
    \item %7
    求曲线 $y = \sqrt{x}$ 在区间 $[1, 4]$ 上的弧长。
    \item %8
    求由 $y = x^2$ 和 $y = 2x$ 围成的平面区域的面积。
    \item %9
    计算二重积分：$\displaystyle \iint_D (x + y)  dA$，其中 $D$ 是由 $x = 0$, $y = 0$, $x + y = 1$ 围成的三角形区域。
    \item %10
    求函数 $f(x,y) = x^2 y + y^3$ 在点 $(1,2)$ 处的全微分。
    \item %11
    求微分方程 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = 2xy$ 的通解。

    % 线性代数

    \item %12
    计算行列式：$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 4 & -2 \\ 1 & 0 & 5 \end{vmatrix}$。
    \item %13
    求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ 的逆矩阵。
    \item %14
    解线性方程组：
    \[
    \begin{cases}
    2x + y - z = 1 \\
    x - y + 2z = 3 \\
    3x + 2y + z = 4
    \end{cases}
    \]
    \item %15
    求向量 $\mathbf{u} = (1, -2, 3)$ 与 $\mathbf{v} = (4, 1, -1)$ 的点积和叉积。
    \item %16
    判断向量组 $(1,2,3)$, $(0,1,2)$, $(2,3,4)$ 是否线性相关。
    \item %17
    求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ 的特征值和特征向量。
    \item %18
    将向量 $\mathbf{b} = (3, 5)$ 投影到向量 $\mathbf{a} = (1, 2)$ 上。
    \item %19
    计算矩阵乘积：$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$。
    \item %20
    求齐次线性方程组 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 的通解，其中 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$。
    \item %21
    求矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ 的秩。
    \item %22
    将二次型 $Q(\mathbf{x}) = 2x^2 + 4xy + 5y^2$ 写成矩阵形式。

    % 概率论

    \item %23
    设随机变量 $X \sim B(10, 0.3)$，求 $P(X = 4)$。
    \item %24
    设随机变量 $Y \sim N(0, 1)$，求 $P(-1 < Y < 1)$。
    \item %25
    设离散随机变量 $X$ 的分布律为 $P(X=0)=0.2$, $P(X=1)=0.5$, $P(X=2)=0.3$，求 $E[X]$ 和 $D[X]$。
    \item %26
    设连续随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x) = \begin{cases} 2x, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，求 $P(X > 0.5)$。
    \item %27
    设 $X$ 和 $Y$ 相互独立，且 $X \sim N(1,4)$, $Y \sim N(2,9)$，求 $E[2X - Y]$ 和 $D[2X - Y]$。
    \item %28
    从装有 3 个红球和 2 个白球的袋子中不放回地抽取 2 个球，求抽到两个红球的概率。
    \item %29
    设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布律如下：
    \[
    \begin{array}{c|ccc}
    X\backslash Y & 0 & 1 & 2 \\
    \hline
    0 & 0.1 & 0.2 & 0.1 \\
    1 & 0.2 & 0.1 & 0.3 \\
    \end{array}
    \]
    求 $P(X=1)$ 和 $P(Y=0)$。
    \item %30
    设随机变量 $X$ 服从参数为 $\lambda = 2$ 的泊松分布，求 $P(X \leq 1)$。
    \item %31
    设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x^2, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & x \geq 1 \end{cases}$，求其密度函数 $f(x)$。
    \item %32
    两枚均匀骰子同时掷出，求点数之和为 7 的概率。
    \item %33
    设 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 是来自总体 $N(\mu, \sigma^2)$ 的简单随机样本，写出样本均值 $\bar{X}$ 的分布。

\end{enumerate}

\section{概念起源}

我们一年级学习了吴传生的微积分\supercitebracket{wcs2021}, 
这学期正在学习茆诗松的概率论与数理统计教程\supercitebracket{mss2019}。

有关极限的概念的起源，古典文献为柯西\supercitebracket{cauchy1821cours} 与魏尔斯特拉斯\supercitebracket{weierstrass1878lectures}. 

\section{题目解答}




\printbibliography[title={参考文献}]
\end{document}
